Когда ользователь открывает в игре достижение, то нужно его уведомить об этом.
На stackoverflow пишут, что нельзя просто так подключиться и забрать картинки достижений из Game Center.
Класс GKAchievementDescription из фреймворка GameKit вроде бы позволяет получить изображение, но только после того, как пользователь его откроет. Конечно можно открыть все достижения, забрать их картинки, сохранить и снова закрыть, но это потребует большой задержки выполнения приложения и риск того, что пользователь остановит приложение, а достижения останутся открытыми.
Можно попробовать запрашивать достижение тогда, когда пользователь его открыл, но тогда будет задержка при загрузке изображения.

Единственным подходящим решением вижу создать маппинг достижения-изображения, например, в plist файле объявить NSDictionary